Calculus

Giriş
Calculus nedir sorusunun açıklaması şöyle

The three main points are:

• Limits: How sequences and functions behave when getting closer and closer to a desired point (geometrically, what happens when you "zoom in" near a point)
• Derivatives: How functions change over a parameter (geometrically, the "slope of a graph at a given point")
• Integrals: What's the cumulative effect of a function (geometrically, the "area under a graph")

Sayının En Küçük Değeri
X en az 1000 olmalı diye belirtmek için şöyle yaparız.

Türev

Türev eğimi verir. Açıklaması şöyle

The value of the derivative is the slope of the tangent line. If the slope is positive the function is increasing, if negative the function is decreasing.

Türevin Türevi

Türevin türevi eğimi verir. Açıklaması şöyle

Since derivatives measure rates of change, one way to see whether the derivative itself is increasing or decreasing is to find its derivative: the second derivative of the original function. 

Türevin türevi her durumda concavity durumunu doğru bulmasa da  basittir. Açıklaması şöyle

So the real point is that using the 2nd derivative test to verify concavity is very useful:

- It is very simple to use;

- Cases where it does not work are rare (e.g. f(x)=x^4);

- Alternative methods are harder to apply.

L'Hopital Kuralı ve Limit

Pay ve payda aynı anda sonsuz veya sıfıra gidiyorsa bu kural uygulanır. Pay ve paydanın türevi alınarak limit hesaplanır. Açıklaması şöyle

One of the conditions of applying L'Hospital's Rule is that f′(x)/g′(x) must exist.

Basit bir açıklama ise şöyle.

Intuitively, you look at the degree of the numerator and denomiator. If the numerator has higher degree, it will flood out the denominator and tend to ∞. If the denominator has higher degree, the limit will be zero. If they have the same degree, all lower-degree terms will be relatively insignificant and the quotient tends to the ratio of the top-degree coefficients

Örnek
Dolayısıyla (5n^2) / (11n^2) n sonsuza giderken kural uygulanırsa = 5/11 çıkar.

Örnek

Şu örnekte L'Hopital kuralı sin fonksiyonu x sonsuza giderken +/-1 arasında dalgalandığı için uygulanamıyor.

limx→∞sin(x)

Açıklaması şöyle

L'Hospital's Rule isn't working since the derivative of numerator function isn't determinable when x→∞, due to oscillatory behaviour of sinsin and coscos function. Therefore you have to approach traditionally.

Örnek
L'Hopital kuralı iki tane limi işlemi toplamasını birleştirmek için kullanılamaz. Her limit ayrı ayrı hesaplanır ve sonuç toplanır.